Question

关于分段函数求导数的方法

如图，2014数三全书P49最下面，图中说的最后若lim f'(x)=A 则f'(x0)=A。为什么了？它的导函数不一定连续，怎么能得出这样的结论呢？？最多只能说导函数在X0的极限存在。又不是说左右导数存在且相等！求解？？

Answer 1

　　用Lagrange中值定理可证明之：

　　对任意x∈U0(x0, δ)，由Lagrange中值定理，有
　　　　[f(x) - f(x0)]/(x - x0) = f'[x0 + θ(x - x0)] (0<θ<1)，
由条件，有
　　　　lim(x→x0)[f(x) - f(x0)]/(x - x0) = lim(x→x0) f'[x0 + θ(x - x0)] = A，
此即
　　　　f'(x0) = A，
得证。

Answer 2

他有前提啊，前面的“设x0的空心领域。。。”就是在xo处极限存在且可导且相等的另一种表述方法，x0的空心领域内在x0处连续，就说明了x0出左右极限都存在且相等，x0相当于一个可去间断点。如果说是x0的左领域或者右领域，你就要重新考虑了。