Question

已知函数f<x>=lg(x^2+tx+1)

当x∈[0,2]，求f<x>的最小值
是否存在不同的实数a,b,使得f<a>=lga,f<b>=lgb,并且a,b∈（0,2），若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由

Answer 1

1
首先使f(x)在[0,2]内有定义
即0≤x≤2时，u(x)=x^2+tx+1>0恒成立
x=0时，u=1
0<x≤2时，t>-x-1/x
∵x+1/x≥2,(x=1时取等号）
∴-(x+1/x)≤-2
∴t>-2

u(x) =(x+t/2)²+1-t²/4

当-2<t≤0时，0≤-t/2<1

x=-t/2时，umin=1-t²/4
f(x)min=lg(1-t²/4)

当-t/2<0即t>0时，
x=0时，umin=1
f(x)min=lg1=0

2
存在不同的实数a,b,使得f<a>=lga,f<b>=lgb

即u(a)=a,u(b)=b
即方程x²+tx+1=x，
x²+(t-1)x+1=0
在(0,2)内有2个不等的实数根
设g(x)=x²+(t-1)x+1
需
｛Δ=（t-1)²-4>0
{g(0)=1>0
{g(2)=2t+3>0
{0<-(t-1)/2<2
解得：t∈Φ
∴满足条件的a,b不存在

追问

为空集吗？

为空集吗？

追答

｛Δ=（t-1)²-4>0 ==> t>3
{g(0)=1>0 ==>t∈R
{g(2)=2t+3>0 ==>t>-3/2
{0-3<t<1
交集为空

追问

｛Δ=（t-1)²-4>0 ==> t>3
?

追答

（t-1)²-4>0

==>(t-1)²>4
==>t-1>2 [在t>-2的前提下】
==>t>3