在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc
在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求三角形ABC的形状...
在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求三角形ABC的形状
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1个回答
2013-08-07 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
法1：
∵a,b,c成等比数列
∴ac=b²
代入a²-c²=ac-bc得出
a²-c²=b²-bc
即 b²+c²-a²=bc
根据余弦定理得
cosA=(b²+c²-a²)/2bc=bc/2bc=1/2
∴∠A＝60º
∵a,b,c成等比数列
∴∠B＝∠C＝60º
∴三角形为等边三角形
法2：
设等比为q (q>0)，则b=aq，c=aq²
代入a²-c²=ac-bc得
a²-a²q⁴=a²q²-a²q³
a²(q⁴-q³+q²-1)=0
a²[q³(q-1)+(q²-1)]=0
a²(q-1)[q³-(q+1)]=0
a²(q-1)(q³-q-1)=0
∴(q-1)(q³-q-1)=0
∵a²>0 q>0
∴q-1=0
∴q=1
∴a=b=c
三角形为等边三角形
法1：
∵a,b,c成等比数列
∴ac=b²
代入a²-c²=ac-bc得出
a²-c²=b²-bc
即 b²+c²-a²=bc
根据余弦定理得
cosA=(b²+c²-a²)/2bc=bc/2bc=1/2
∴∠A＝60º
∵a,b,c成等比数列
∴∠B＝∠C＝60º
∴三角形为等边三角形
法2：
设等比为q (q>0)，则b=aq，c=aq²
代入a²-c²=ac-bc得
a²-a²q⁴=a²q²-a²q³
a²(q⁴-q³+q²-1)=0
a²[q³(q-1)+(q²-1)]=0
a²(q-1)[q³-(q+1)]=0
a²(q-1)(q³-q-1)=0
∴(q-1)(q³-q-1)=0
∵a²>0 q>0
∴q-1=0
∴q=1
∴a=b=c
三角形为等边三角形
更多追问追答
追问
法一中‘
为什么
∵a,b,c成等比数列
∴∠B＝∠C＝60º
追答
反过来
∠B＝∠C，则b=c
∵∠A=60º
∴a=b=c满足等比数列
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