Question

某人在一小斜坡上的P点处(坡高h=10m)观看对面一座大楼顶上的广告画,如图所示,画高BC=8m,画所在的大楼高OB

某人在一小斜坡上的P点处(坡高h=10m)观看对面一座大楼顶上的广告画,如图所示,画高BC=8m,画所在的大楼高OB=22m,图上所示的山坡坡面可视为直线l,A为直线l与水平地面的交点,OA=20m,l与水平地面的夹角为α,tanα=1/2,若点P在直线l上,试问:P距水平地面多高时,此人观看广告画的视角∠BPC最大?(不计此人身高)

Answer 1

如图所示！！图呢？？？

追问

追答

如图，设人距离水平地面的高度为PD=x（0≤x≤10）

那么，AD=2x

PE=20+2x

BE=22-x

CE=30-x

所以，tan∠CPE=CE/PE=(30-x)/(20+2x)，tan∠BPE=BE/PE=(22-x)/(20+2x)

所以，tan∠BPC=tan(∠CPE-∠BPE)

=[(30-x)/(20+2x)-(22-x)/(20+2x)]/[1-(30-x)(22-x)/(20+2x)^2]

=8(2x+20)/[(2x+20)^2-(30-x)(22-x)]

=16(x+10)/[4x^2+80x+400-(x^2-52x+660)]

=16(x+10)/(3x^2+132x-260)

令g(x)=(x+10)/(3x^2+132x-260)

则，g'(x)=[(3x^2+132x-260)-(x+10)(6x+132)]/(3x^2+132x-260)^2

=(3x^2+132x-260-6x^2-192x-1320)/(3x^2+132x-260)^2

=(-3x^2-60x-1580)/(3x^2+132x-260)^2

＜0

所以，g(x)为单调减函数

则，当x=0米时，∠BPC最大。

追问

答案是6m

追答

啊啊啊，两角差的正切公式写错了，下面应该是加上！！！

所以，tan∠BPC=tan(∠CPE-∠BPE)
=[(30-x)/(20+2x)-(22-x)/(20+2x)]/[1+(30-x)(22-x)/(20+2x)^2]
=8(2x+20)/[(2x+20)^2+(30-x)(22-x)]
=16(x+10)/[4x^2+80x+400+(x^2-52x+660)]
=16(x+10)/(5x^2+28x+1060)
令g(x)=(x+10)/(5x^2+28x+1060)
则，g'(x)=[(5x^2+28x+1060)-(x+10)(10x+28)]/(5x^2+28x+1060)^2
=(5x^2+28x+1060-10x^2-128x-280)/(5x^2+28x+1060)^2
=(-5x^2-100x+780)/(3x^2+132x-260)^2
当g'(x)=0时，即：5x^2+100x-780=0
===> (5x+130)(x-6)=0
===> x=6【x=-26＜0，舍去】
当x＞6时，g'(x)＜0，g(x)单调递减；
当0＜x＜6时，g'(x)＞0，g(x)单调递增
所以，g(x)在x=6时取得最大值
亦即，当x=6米时，∠BPC最大。