Question

函数的拐点与其一阶导数的极值点的关系

请问函数的拐点与其一阶导数的极值点的关系，因为在全书看到这样一段（见附件里的【注】当函数f(x)在x0的某领域内具有足够阶数的导数时，f(x)的拐点即为f'(x)的极值点）也就是说1、如果在x0处的某领域内具有足够阶数的导数，则f(x)的拐点即为f'(x)的极值点，f'(x)的极值点的极值点也为f(x)的拐点？2、是或不是，请说明理由（是否可以用泰勒公式说明理由）

Answer 1

极值点处一阶导数为0,一阶导数描述的是原函数的增减性；拐点处二阶导数为0,二阶导数描述的也是原函数的增减性。

如果该函数在该点及其领域有一阶二阶三阶导数存在，那么函数的一阶导数为0，且二阶导数不为0的点为极值点；函数的二阶导数为0，且三阶导数不为0的点为拐点。如，y=x^4, x=0是极值点但不是拐点。如果该点不存在导数，需要实际判断，如y=|x|, x=0时导数不存在，但x=0是该函数的极小值点。

扩展资料：

1、零点，驻点，极值点都作为函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点

2、驻点和极值点:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外,函数在它的一阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。

3、驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。

参考资料来源：百度百科-极值点

参考资料来源：百度百科-拐点

Answer 2

你的问题。
设函数f（x）在某U（x0）邻域二阶可导，且x0为拐点。
第一个。拐点就是f ‘(x)极值点。
按照拐点定义，拐点两侧的函数凹凸性不同。
设在U-（x0）（即x0左邻域）函数是凸函数，在U+（x0）（即x0右邻域）函数为凹函数。
因为函数二阶可导，所以根据凹凸性充分必要条件
对于x∈U-（x0），f "（x）=[f '（x）] '≥0.（在左邻域是凸函数）
对于x∈U+（x0），f "（x）=[f '（x）] '≤0.（在右邻域是凹函数）
所以由极值第一充分条件得到函数f '（x）在x0取得极大值。
类似可以讨论在U-（x0）（即x0左邻域）函数是凹函数，在U+（x0）（即x0右邻域）函数为凸函数的情况。
所以f(x)拐点就是f '(x)极值点。
而f '(x)极值点是否是f(x)拐点呢？我觉得不是。对于一次多项式函数。它们的导函数显然有极值点（导函数是常函数，每个点都是极值点），但是这种函数却没有拐点，既然连拐点都没有那当然不能说极值点就是拐点了。

另外对于你图片里面最上面的红线所画出的部分。因为根据拐点定义，如果某点是函数的拐点，那么函数在该点的切线与这个函数必相交于这个拐点，也就是说函数在该点的切线在这个点穿过曲线（这个是直观的说法）。这样就要求曲线在该点有切线，既然要求有切线，如果切线不是垂直切线，那么函数在该点可导，则函数必在该点连续，如果切线是垂直切线那么虽然函数在该点不可导，但是连续。（本段内容请参看任意一本数学分析，推荐华东师大的《数学分析》或者Walter Rudin的《Principle of Mathematical Analysis》）

而你第三条红线下面的那一段，就是那个”注“。实际上是极值第三充分条件。

以上内容可参考华东师范大学数学系编著的《数学分析》，”微分中值定理及其应用“这一章

Answer 3

这不是规范的教材，这里【具有足够阶数的导数】的概念是教学经验不足的青年教师杜撰的，应该是【具有足够阶数的可导性】。成熟的老年教师要经得起吹毛求疵。
如果二阶导数具有连续性，或者具有三阶可导性，那么【f(x)的拐点即为f'(x)的极值点】结论成立。
证明这个结论杀鸡何须牛刀，根本用不上泰勒公式。
用【拉格朗日中值定理】f'(x)-f"(x0)=f"(α)(x-x0) 即可。
f"(α)在左右邻域变号，x-x0在左右邻域也变号，f'(x)-f"(x0)=f"(α)(x-x0) 就不变号了，结论得证。
——山路水桥