Question

在正三棱柱ABC-A1B1C1中已知AB=AA1,D为CC1的中点,O为A1B与AB1的交点

（1）求证AB1⊥平面A1BD
(2)若点E为AO中点，求证：EC//平面A1BD

Answer 1

（1）证明：连接DO
因为是正三棱锥，且AA1=AB，所以四边形ABB1A1是正方形
所以对角线AB1与A1B互相垂直平分，即AB1⊥A1B （1）
在△ADB1中，AD=√（AC^2 +CD^2），B1D=√（B1C1^2 + C1D^2）=√(BC^2+CD^2)
所以AD=B1D，所以△ADB1是等腰三角形且AB1为底边
又因为O是AB1中点，
所以OD⊥AB1（2）
由(1)、(2)且 OD交A1B=O得AB1⊥面A1BD
（2）证明：取AB中点F，连接EF,CF
连接OF,OD
因为O,F分别为AB1,AB中点，所以OFllBB1,且OF=1/2BB1，
所以OF平行且等于CD
所以四边形OFCD是平行四边形，所以CFllOD
又因为 OD属于面A1BD
所以CFll面A1BD（1）
在△ABO中，因为E,F分别为AO,AB的中点，
所以EFllOB
又因为 OB属于面A1BD
所以 EFll面A1BD（2）
由（1），（2）且EF交CF=F得 面CEFll面A1BD
因为CE属于面CEF，所以CEll面A1BD

Answer 2

(1)证明:连接DO
因为是正三棱锥，且AA1=AB，所以四边形ABB1A1是正方形
所以对角线AB1与A1B互相垂直平分，即AB1⊥A1B
(1)
在△ADB1中，AD=√(AC^2
+CD^2)，B1D=√(B1C1^2
+
C1D^2)=√(BC^2+CD^2)
所以AD=B1D，所以△ADB1是等腰三角形且AB1为底边
又因为O是AB1中点，
所以OD⊥AB1(2)
由(1)、(2)且
OD交A1B=O得AB1⊥面A1BD
(2)证明:取AB中点F，连接EF,CF
连接OF,OD
因为O,F分别为AB1,AB中点，所以OFllBB1,且OF=1/2BB1，
所以OF平行且等于CD
所以四边形OFCD是平行四边形，所以CFllOD
又因为
OD属于面A1BD
所以CFll面A1BD(1)
在△ABO中，因为E,F分别为AO,AB的中点，
所以EFllOB
又因为
OB属于面A1BD
所以
EFll面A1BD(2)
由(1)，(2)且EF交CF=F得
面CEFll面A1BD
因为CE属于面CEF，所以CEll面A1BD