Question

已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x+m(x属于R)的最大值为根号2-1

求m的值
求f（x）的周期和单调增区间

Answer 1

f(x)=1/2*(1-cos2x)+sin2x+3/2*(1+cos2x)+m=2+cos2x+sin2x+m=2+根号2*cos(2x-π/4)+m

因为最大值为根号2-1，所以2+m=-1，m=-3
周期T=2π/2=π，单调増区间：-π+2kπ<2x-π/4<π+2kπ，即kπ<x<π+kπ

Answer 2

解：f（x）= sin ² x + 2 sin x cos x + 3 cos ² x + m

= （sin ² x + cos ² x）+ sin 2x + 2 cos ² x - 1 + 1 + m
= 1 + sin 2x + cos 2x + 1 + m
= √2【（√2 / 2）sin 2x +（√2 / 2）cos 2x 】 + m + 2
= √2 （sin 2x cos π / 4 + sin π / 4 cos 2x ） + m + 2
= √2 sin（2 x + π / 4）+ m + 2
∵ f（x）最大值是 √2 - 1
又∵ sin（2 x + π / 4）最大值是 1
∴ √2 + m + 2 = √2 - 1
m + 2 = - 1
m = - 3
∴ f（x）的周期为：T = 2 π / ω
= 2 π / 2
= π
单调增区间为：【 k π - 3 π / 8 ， k π + π / 8 】