Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°Q为AD的中点

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD中点.
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB.

Answer 1

连接BD
△PAD为等腰三角形，所以PQ⊥AD
△ABD为正三角形，所以BQ⊥AD
又因为PQ与BQ相交于Q，所以AD⊥平面PQB
而AD在平面PAD上，所以平面PQB⊥平面PAD

（2）
取PD中点N，连接QN，显然AD∥QN，而Q在平面MQB上，证明N也在平面MQB上即可

Answer 2

一问易证。
二问中，联结AC交QB于点K,则应满足KM//AP。
此时K为三角形ABD重心，则有：AK：AC＝1：3，即t=1/3.

Answer 3

底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，则△ABD为等边三角形。
PA=PD=AD=2，得△PAD为等边三角形。
Q为AD中点，等边三角形中线和垂线重合，则PQ⊥AD，BQ⊥AD。
AD垂直于平面PQB中两条相交直线PQ和BQ，所以AD⊥平面PQB。
M又是哪里来的?

Answer 4

假设AC交BQ于E
因为
PA//BQM
必有
PA//ME
由条件知道
因为E点是等边三角形的中心
所以AE/AC=PM/PC=t
根据菱形和等边三角形的性质可以算出是
AE/AC=1/3=t