Question

高等数学定积分，求大神解答

真的是做不好，求大神详细解答一下，谢谢了

Answer 1

根据积分中值定理，存在ξ1∈(0,1/2),使得：ξ1f(ξ1)=[∫(0,1/2)xf(x)dx]/(1/2)=2∫(0,1/2)xf(x)dx.
在[ξ1,1]上，考虑函数F(x)=xf(x),F(x)满足，
1）在[ξ1,1]上连续；
2）在(ξ1,1)内可微；
3）F(ξ1)=F(1)=2∫(0,1/2)xf(x)dx
依罗尔定理，在(ξ1,1)内至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0
F'(x)=f(x)+xf'(x)
即 f(ξ)+ξf'(ξ)=0 ξ∈(ξ1,1⊂(0,1)

Answer 2

构造辅助函数G（x）=xf（x）然后很容易看出在（0，1)上有一点C，使得G（c）=G（1），然后用中值定理得到有G'(t）=0，然后求导数得证

追问

哥们能说详细点吗，谢了

追答

g(1)=f(1)啊，然后那个带有积分的项，由积分中值定理，在(0.1)上一定有个c使得cf(c)=f(1).然后罗尔定理直接得到