Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m＜n)

1. 若m=-1 n=2求不等式F(x)＞0解集
2. 若a＞0且0＜x＜m＜n＜1/a 比较f(x)与m的大小

Answer 1

1. F(x)是二次函数，知道两个零点为-1,2
但不知道开口，所以
F(x)＞0解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)或(-2,1)

2. m是F(x)的零点
F(m)=f(m)-m=0
所以f(m)=m
要比较f(x)与m的大小

只需判断f(x)-m 的正负
f(x)-m=f(x)-f(m)
=ax^2+bx+c-am^2-bm-c
=a(x^2-m^2)+b(x-m)
=(x-m)(ax+am+b）
=(x-m)(ax+1-an） [b代换为1-am-an, 韦达定理求得]
这个二次函数零点分别是m 和(an-1)/a
又因为a＞0且0＜x＜m＜n＜1/a

所以(an-1)/a<0<m
所以0＜x＜m 是f(x)-m<0
即f(x)<m

Answer 2

（1）解：由题意及韦达定理(根与系数关系)可得F(x)=x²-x-2，其中a=1>0. 故有F (x)>0的的解集为x>2或x<-1

（2)若a>0,且0<x<m<n<1/a,m为函数F(x)=f(x)-x的零点
则F(x)在(0，m)上一定是单增的
因此：F(x)>m
f(x)>m+x>m