Question

对称区间上奇偶函数的定积分

两个问题
对（2）如何证明
在（3）中说“f（x）在[-a,a]的全体原函数为偶函数”，我想问：在区间上的积分为定积分，而定积分是个数值，并不是函数，书上是不是表达的有问题啊？这个到底是要表达什么意思呢？如果是说fx的不定积分的原函数是偶函数的话，那为什么还要强调是在[-a,a]这个对称区间上呢？

Answer 1

• 对（2）如何证明-----------------------设F(x)=∫(0,x)f(x)dx,且f(-x)=-f(x)

         F(-x)=∫(0,-x)f(x)dx=∫(0,x)f(-t)d(-t)=∫(0,x)f(t)dt=F(x)

  故F(x)是偶函数。

• “f（x）在[-a,a]的全体原函数为偶函数”，并非在区间上的定积分。

• 书上是不是表达的有问题啊？------------------没有问题，你理解有误。

Answer 2

可用变量代换法证明奇函数对称区间定积分为0
令-u=x
则dx=-du
x^3在[-3，3]上的积分变为u^3在[3，-3]（等价于-x^3在[-3，3]）上的积分
因为用的是变量代换
所以x^3在[-3，3]上的积分=-x^3在[-3，3]上的积分
所以x^3在[-3，3]上的积分=0

Answer 3

第二问题目有点乱，顺序乱七八糟的；第三问表达是没有问题的，在区间上的积分是定积分，但这个定积分中含有自变量X，所以是个关于自变量X的函数，你想想看他的原函数有很多，如那个定积分+C，C不等于0是就不是奇函数了。