Question

高一数学向量问题

如图所示正方形ABCD中，AB=4，AE=DG=1，AF=2，P是EC与FG的交点，求∠FPC余弦值。

Answer 1

设向量AD=a
向量AB=b
向量EC=向量AC-向量AE=(a+b)-(1/4)a=(3/4)a+b
向量GF=向量AF-向量AG=(1/2)b-(a + b/4)= -a+(1/4)b
cos∠FPC=cos<向量EC,向量GF>
|向量EC|=|(3/4)a+b|=5
|向量GF|=| -a+(1/4)b|=√17
向量EC·向量GF=[(3/4)a+b]·[ -a+(1/4)b]=-(3/4)a²+(1/4)b²= -8
cos<向量EC,向量GF>=[-8]/[5√17]= -8√17/85

Answer 2

以DC,DA为x,y轴建立直角坐标系，则
C(4，0),G(1，0),E(0，3),F(2，4),
∴向量EC=(4，-3),GF=(1，4),
EC*GF=4-12=-8，|EC|=5，|GF|=√17，
∴cosFPC=-8/(5√17）=-8√17/85.

追问

EC*GF=4-12=-8，求解释

追答

EC*GF=4*1-3*4=4-12=-8.

Answer 3

这是不用向量的方法，看似繁杂，但有益于锻炼思维。

我不太喜欢在几何上依赖向量，某些题目如果用向量解决，则需要繁杂的计算，还不如用几何方法巧妙地得出答案，用向量算得容易往往是题目数字专为向量设计。

向量的方法太过于模式化，以致很多人连思考都懒得思考。

我的方法让你参考一下，估计你一时之间可能看不懂，有兴趣的话可以追问我

Answer 4

FPC是三角形GPC的外角。所以FPC等于PGC+PCG
cosFPC等于cos（PGC+PCG）
等于cosPGCcosPCG减sinPGCsinPCG。那两个角都好求。