y=sinx+cosx+sinxcosx的值域
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y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=(T^2-1)/2
所以y=T+(T^2-1)/2
整理得,y=1/2(T+1)^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值 = -1
当T=√2时,y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ]
令sinx+cosx=T,(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=(T^2-1)/2
所以y=T+(T^2-1)/2
整理得,y=1/2(T+1)^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值 = -1
当T=√2时,y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ]
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追问
倒数第六行不单调什么啊?
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就是没有单调性
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令sinx+cosx=√2[sinx+(π/4)]=t
则,t∈[-√2,√2]
===> (sinx+cosx)^2=t^2
===> 1+2sinxcosx=t^2
===> sinxcosx=(t^2-1)/2
所以,y=t+(t^2-1)/2(t∈[-√2,√2])
=(1/2)(t^2+2t+1)-1
=(1/2)(t+1)^2-1
它表示的是对称轴为t=-1,开口向上的抛物线
则当t=-1时有最小值=-1
当t=√2时有最大值=(1/2)(√2+1)^2-1=√2+(1/2)
所以,y的值域是[-1,√2+(1/2)]
则,t∈[-√2,√2]
===> (sinx+cosx)^2=t^2
===> 1+2sinxcosx=t^2
===> sinxcosx=(t^2-1)/2
所以,y=t+(t^2-1)/2(t∈[-√2,√2])
=(1/2)(t^2+2t+1)-1
=(1/2)(t+1)^2-1
它表示的是对称轴为t=-1,开口向上的抛物线
则当t=-1时有最小值=-1
当t=√2时有最大值=(1/2)(√2+1)^2-1=√2+(1/2)
所以,y的值域是[-1,√2+(1/2)]
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解:因为sin^2x+cos^2x=1,所以(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1,所以sinxcosx=1/2(sinx+cosx)^2-1/2,所以y=sinx+cosx+sinxcosx=1/2(sinx+cosx)^+sinx+cosx-1/2,令t=sinx+cosx,所以y=1/2t^2+t-1/2,因为当t=-1/(2×1/2)=-1时,y最小=1/2+1-1/2=1,,所以函数值域为[1,正无穷大)。
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