Question

y=sinx+cosx+sinxcosx的值域

Answer 1

y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T，(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入，得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得，y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时，不单调
当T=-1时，y取得最小值 = -1
当T=√2时，y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ]

追问

倒数第六行不单调什么啊？

追答

就是没有单调性

追问

呃呃

Answer 2

令sinx+cosx=√2[sinx+(π/4)]=t
则，t∈[-√2,√2]
===> (sinx+cosx)^2=t^2
===> 1+2sinxcosx=t^2
===> sinxcosx=(t^2-1)/2
所以，y=t+(t^2-1)/2（t∈[-√2,√2]）
=(1/2)(t^2+2t+1)-1
=(1/2)(t+1)^2-1
它表示的是对称轴为t=-1，开口向上的抛物线
则当t=-1时有最小值=-1
当t=√2时有最大值=(1/2)(√2+1)^2-1=√2+(1/2)
所以，y的值域是[-1,√2+(1/2)]

Answer 3

解:因为sin^2x＋cos^2x=1,所以(sinx＋cosx)^2-2sinxcosx=1,所以sinxcosx=1/2(sinx＋cosx)^2-1/2,所以y=sinx＋cosx＋sinxcosx=1/2(sinx＋cosx)^＋sinx＋cosx-1/2,令t=sinx＋cosx,所以y=1/2t^2＋t-1/2,因为当t=-1/(2×1/2)=-1时,y最小=1/2＋1-1/2=1,,所以函数值域为[1,正无穷大)。