Question

高一数学必修四三角恒等变换

设a∈[0,2π],向量0P1=(cosa,sina),向量OP2=(3-cosa,4-sina)，则P1，P2两点间距离的取值范围是多少（答案是[3,7]）求过程，一定及时采纳！！

Answer 1

P1(cosa,sina),P2(3-cosa,4-sina)
P1P2^2=（3-2cosa)^2+(4-2sina)^2
=9-12cosa+4cos^2a+16-16sina+4sin^2a
=29-12cosa-16sina
=29-20sin(a+b) (cosb=4/5)
∈【9，49】
P1P2∈【3，7】

追问

29-12cosa-16sina =29-20sin(a+b) (cosb=4/5)这步怎么化简啊，我就这步不会才问的

追答

16sina+12cosa
=20(4/5sina+3/5cosa)
=20(sinacosb+cosasinb) ( 令cosb=4/5,sinb=3/5 )
=20sin(a+b)

Answer 2

P1P2=|OP1-OP2|=√[(3-cosa-cosa)^2+(4-sina-sina)^2]
=√[29-12cosa-16sina]
=√[29-20sin(a+φ)] 因a∈[0,2π],
所以p1p2∈[3,7]

追问

[29-12cosa-16sina] =[29-20sin(a+φ)] 这步怎么话，我就这步不会，好的话就采纳你

追答

把12cosa+16sina化成一角一函数，需要提取√[12^2+16^2]=20
化成20（12/20cosa+16/20sina)=20sin(a+φ)
其中tanφ=12/16