Question

定义在对称区间上的任何函数都可以唯一的表示成一个偶函数和一个奇函数之和中

Answer 1

设f(x)=h(x)+g(x)，其中h(x)是偶函数，g(x)是奇函数
则f(-x)=h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x)
由此两式可解得得h(x)=[f(x)+f(-x)]/2，g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
显然此解满足条件，且是唯一的，即
对称区间上的任何函数都可以唯一的表示成一个偶函数和一个奇函数之和
即f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2

Answer 2

证明如下：
设任一定义在关於原点对称的区间的函数F(x)
再设G(x)=F(-x)
令f(x)=F(x)+G(x), g(x)=F(x)-G(x)
则有：f(x)-f(-x)=F(x)+G(x)-[F(-x)+G(-x)]=F(x)+F(-x)-F(x)-F(-x)=0
故f(x)为偶函数
同理：g(x)+g(-x)=F(x)-G(x)+[F(-x)-G(-x)]=F(x)-F(-x)+F(x)-F(-x)=0
故g(x)奇为函数
於是F(x)就可以表示为：
F(x)=[f(x)+g(x)]/2,其中f(x)，g(x)分别为偶函数和奇函数