Question

若方程kx²-4kx+1=0的两个根α,β满足|lgα-lgβ|≤1,求k最值

如题。。。。。。

Answer 1

解：k≠0，Δ=16k²-4k≥0，∴k＜0或k≥1/4······①，
由求根公式知方程两根分别为
2+√(4-1/k)，2-√(4-1/k)，
不妨设α≥β，
则α=2+√(4-1/k)，β=2-√(4-1/k)，
|lgα-lgβ|≤1整理得1/10≤α/β≤10······(*)，
∴α·β＞0，
∵α=2+√(4-1/k)＞0，
∴α＞0，β＞0，
∴β=2-√(4-1/k)＞0······②，
由(*)式有1≤α/β≤10，
∴α≤10β，
∴2+√(4-1/k)≤10(2-√(4-1/k))······③，
联立不等式①②③解出1/4≤k≤121/160，
∴k最小值为1/4，最大值为121/160。

Answer 2

解：由题α+β=4，α*β=1/k,
|lgα-lgβ|≤1即1/10≤α/β≤10，将α=4-β代入不等式，求得4/11≤β≤40/11
α*β=(4-β)*β=-(β-2)^2+4,当β=2有最大值4，β=4/11或40/11有最小值160/121
即k最大值121/160,最小值1/4