Question

（1）一个动点P在圆x^2+y^2=4上移动时,求点P与定点A(4,3)连线的中点M的轨迹方程

（2）自定点A(4,3)引圆x^2+y^2=4的割线上ABC，求弦BC中点N的轨迹方程
（3）在平面直角坐标系xoy中，曲线y=x^2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上
1. 求圆C的方程 2. 若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA垂直于OB，求a的值

Answer 1

解：
（1）设中点M坐标为(x，y)，则动点P的坐标为(2x-4,，2y-3)，[说明：用中点坐标公式求P点坐标]
将P点坐标代入圆得到的关于x、y的方程，就是中点M的轨迹方程(因为点P在圆上)。即
(2x-4)²+(2y-3)²=4
（2）设中点M坐标为(x，y)，圆心为O，则OM⊥AC；且圆心坐标为(0，0)，于是
由Kac=(y-3)/(x-4)，Kom=(y-0)/(x-0)=y/x；
因为OM⊥AC，所以Kac×Kom=-1，即
[(y-3)/(x-4)]×(y/x)=-1，整理得
(x-2)²+(y-3/2)²=25/4
（3）1. 根据题意，可设圆以为（3，b）。
由y=x²-6x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±2√2
所以，(3-0)²+(b-1)²=(±2√2)²+b²，解得b=1，则(±2√2)²+b²=9
所以，圆C方程为(x-3)²+(y-1)²=9
2. 设坐标：A(x1, y1)，B(x2, y2)，A、B同时满足直线x-y+a=0和圆(x-3)²+(y-1)²=9
解直线和的联立方程，把y消去，得2x²+(2a-8)x+a²-2a+1=0
由已知有A、B两个交战点即两个解，知道△=56-16a-4a2＞0，
因此有x1+x2=4-a，x1x2=(a²-2a+1)/2 ..... ①
由OA⊥OB可知，x1x2+y1y2=0，且y1=x1+a，y2=x2+a，
即x1x2+a(x1+x2)+a²=0 ...... ②
把②代入①解得a= -1，将其代入△=56-16a-4a2进行检验，
△=56+16-4=68＞0，即符合。所以a= -1