Question

“有第一类间断点的函数一定不存在原函数”与“”只有有限个第一类间断的也一定可积”这两句话矛盾不？

Answer 1

首先只有有限个第一类间断点的函数未必(Riemann)可积.
例如Dirichlet函数, 每点都是第二类间断点, 不是可积的.
不过只有有限个间断点的有界函数一定是可积的.

可积和存在原函数是两个不同的概念.
可积是由Riemann和的收敛性刻画的.
而存在原函数是指其等于某个函数的导函数.
虽然有New-Leibniz公式将二者联系在一起, 但前提是连续函数.

不仅存在没有原函数的可积函数, 而且也存在有原函数的不可积函数.
所以关于这两个不同概念的这两句话是没有矛盾的(后一句需要修正).

Answer 2

感觉是有点矛盾，不过后面这句没提函数呢。
从几何意义上可积和微积分上原函数是不同的的概念呢
第一类间断点是左右连续且极限值相等吗？很久都有点忘了