Question

关于x的方程9^x+（4+a）*3^x+4=0有实数解，求a的取值范围

Answer 1

x的方程9^x+（4+a）*3^x+4=0有实数解
令3^x=t>0
原方程即
t^2+(4+a)t+4=0有正数解
(4+a)t=-4-t^2
4+a=-(4/t+t) 有正数解
∵t>0
∴t+4/t≥2√(t*4/t)=4
当且仅当t=4/t,t=2时取等号
∴-（t+4/t)≤-4
∴4+a≤-4
∴a≤-8
a的取值范围(-∞,-8]

Answer 2

9^x+（4+a）*3^x+4=0
(3^x)²+（4+a）*3^x+4=0
3^x>0
所以
4+a<0
a<-4

且Δ=（4+a）²-4×4≥0
(4+a+4)(4+a-4)≥0
a(a+8)≥0
a≥0或a≤-8
所以
a≤-8

Answer 3

9^x+（4+a）*3^x+4=0
(3^x)^2+(4+a)*3^x+4=0
△ = (4+a)^2 - 16 ≥0
a^2+8a≥0
a(a+8)≥0
a≥0 or a≤-8

Answer 4

设3^x=y
所以y^2+(4+a)y+4=0
故(4+a)^2-16>0
(4+a)^2>16
4+a>4或4+a<-4
a>0或a<-8
又y=3^x>0
所以y1*y2=4>0且y1+y2=-(4+a)>0
综上a<-4