Question

如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S

如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点

求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
请说详细一点，不要复制网上的答案，我有点看不懂，谢谢

Answer 1

（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM=1/2∠BPD=∠BAD=60°，
从而∠PBD=30°；

（2）作SN⊥BP于点N，则SN=1/2SB．
又DS=2SB，DM=MB=1/2BD，
∴MS=DS-DM=2SB-3/2SB=1/2SB=SN，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以∠PAB=1/2∠NPS=15°，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．

追问

M哪来的？

追答

作PM⊥BD于点M

追问

∠BPD怎么求？

追答

A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心

追问

不懂，没学圆
问题1中∠BPM=1/2∠BPD=∠BAD=60°，
其中不知道∠BPD怎么求，求详细点

追答

我只知道用圆是这么求的，没用圆的我不太清楚。抱歉啊