Question

高中数学-立体几何-直线与平面所成夹角

在直棱柱ABC-A1B1C1中,上、下底面是全等的等边三角形，且AB=4,AA1=√7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E。求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值

Answer 1

∵DE⊥面AA'C'C，∴DE⊥AC，又点D是BC中点，∴点E是AC的4等分点,AC=4CE=4,AE=3
作AF⊥A1E,交A1E于F，AF=3√7/4
又∵面A'DE⊥面AA'C'C，面A'DE∩面AA'C'C=A1E，
∴AF⊥面A'DE
∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角
在Rt△AFD中，AF⊥FD,AF=3√7/4，AD=2√3，
sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8
所以，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8

追问

AF=3√7/4是怎么得出来的

追答

A1E=√[（√7）²+9）]=4 设A1F为x
得 √[（√7）²-x²]=√[3²-（4-x）²]
解得 x=7/4
AF=√[（√7）²-（7/4）²）]=3√7/4

Answer 2

首先要说图很花...这个嘛，建立空间坐标系，向量表示进行求解，秒杀.