Question

已知集合A={a1,a2,a3.....an},其中ai∈R（1<=i<=n,n>2),LA表示ai+aj(1<=i<j<=n)中所有不同数值的个数。

（1）若集合A={2，4，8，。。。，2*n},求证：LA=n*(n-1)/2.

Answer 1

解：
首先要证明2,4,8....2^n(不是2*n吧？否则怎么会2,4,8，应该是2,4,6）中任意两个不同数之和互不相同，证明如下：
用反证法：
假设ar+as=at+am,其中r≠s≠t≠m
无妨设ar是四个数中最小的，那么as，at，am都是ar的倍数，且是偶数倍
两边同时提取公因式ar，
那么ar（1+as/ar)+ar(at/ar+am/ar)
1+as/ar=at/ar+am/ar
由于as/ar,at/ar,am/ar都是偶数
都是上式中左边为奇数，右边为偶数，矛盾，因此集合A中任何两个 不同数之和不同
那么LA=C(n,2)=n(n-1)/2
证毕