Question

已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax²+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，求a值

Answer 1

解：将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6）．
显然x+2≠0，于是a=2(x＋6)(x＋2)2
由于a是正整数，所以a≥1，即2(x＋6)(x＋2)2≥1
所以x2+2x-8≤0，
（x+4）（x-2）≤0，
所以-4≤x≤2（x≠-2）．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，149，1
∴a=1，3，6，10
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；
当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．
综上所述，当a=1，3，6，10时，关于x的一元二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根．

Answer 2

由方程可知：a=2(x+6)/(x+2)^2;
因为a只能为正整数，且x也只能为整数，利用这两个条件，可以用x为整数进行试凑,由于分母非负，所以x>-6,又因为a为正整数，分母=<分子，可知-4<x<2,且x!=-2综上
结果为：x=2,a=1;
x=0,a=3;
x=-1,a=10;
x=-3,a=6.