Question

请教个高斯公式问题 万分感谢

看到曲面积分转到高斯公式时候 都说这么句话 闭区域的边界曲线取的内法向 所以曲面积分转换成高斯公式三重积分时候前面要加个负号，课本上我看没有说啊。请大家帮我看这道题，画红框的那句话的意思，还有画红框的那个负号是怎么来的 谢谢大家了

Answer 1

Gauss公式，考虑正负号，我们只看闭合曲面的方向：内向和外向所有单闭合曲面的拓扑结构是一样的：都可以想象成一个球面。那么方向只有两种：有外界指向球心，即内向；和由球心向外射，即外向。这样方向就完全脱离坐标轴，和坐标轴无关了Gauss三重积分部分，外向取+，内向取-对于这题，因为体域是由两个球面构成的，拓朴结构就是两个同心球面内的空间。故内球面的外法向实质上是指向球面内的这样说可能比较抽象，你可以看全书(2012)的285，有附图

Answer 2

请问您上面回复的说 如果补做球体的边界曲线取内侧 。 请问您的意思是不是就是把书上补做的那个球体的法向量的方向换了？我的疑惑就是如果我取补做的那个小球的边界曲线法向量方向是指向原点的，这样对于我运用高斯公式的封闭区域，就相当于取了外侧，这样原来题上等式右边的补做球面的边界曲线的面积积分前面的符号就应该是正的了吧？但是等式左边这个封闭区域的三重积分为0，就相当于等式右边的外球体的曲面积分的符号 跟内球体的曲面积分的符号是相反数，这样算出来的答案不就跟全书上的答案差了个负号了吗？？

Answer 3

做Gauss的题分两种：一是只有单一闭曲面，一是空间二维单连通(俗称空间“有洞”)，这两种方向要分清，多做几个类似的题就明白了

Answer 4

哈哈 掌握得不错啊 叙述完全到位 加油哦！