Question

梅涅劳斯定理

三个比例式中只有一个是全边比短边么？。为什么我看到有道题是用三个全边比短边证的。。。

Answer 1

全边比短边这种理解方法不太好, 比较合适的理解是交点分线段的比:
即定义直线AB上一点P分线段AB的比为AP/PB, 无论P是否在A, B之间.
当P在A, B之间时称为内分, 在A, B之外时称为外分.

这样Menelaus定理可以叙述为:
直线与三角形三边所在直线分别相交, 则交点分三角形各边的比的乘积为1.
直线与三角形三边的相交情况有两种: 两个内分一个外分, 或者三个外分.
也就分别对应你说的一个全边必短边和三个全边比短边.
两种都是Menelaus定理的正常情况.

另外, 从有向线段出发可以得到带符号的比, 内分时为正数, 外分时为负数.
此时Menelaus定理的乘积总为-1.