Question

:如图，已知AE//BC，AD、BD分别平分∠EAB和∠CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC

Answer 1

延长AD交BC延长线于F，
∵AE∥BC，∴∠EAB+∠CBA=180°，
∵AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=1/2(∠EAB+∠CBA)=90°，
∴BD⊥AF，
在ΔBDA与ΔBDF中，
∠DBA=∠DBF，BD=BD，∠BDA=∠BDF=90°，
∴ΔBDA≌ΔBDF，
∴AB=BF，AD=DF，
∵AE∥BC，∴∠DAE=∠F，∠DEA=∠DCF，
∵AD=DF，∴ΔDAE≌ΔDFC，
∴CF=AE，
∴AB=BC+CF=BC+AE。

Answer 2

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB=
1
2
∠BAD，∠FCD=
1
2
∠BCD，
∴∠EAB=∠FCD，
在△ABE和△CDF中

∠B＝∠D
AB＝CD
∠EAB＝∠FCD

∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
∵AD=BC
∴AF=EC．