Question

若x,y为任意的正数,且2x+y=1,求使m≤1/x+2/y恒成立的m的取值范围

Answer 1

1. 根据条件x、y都为正数，2x+y=1即y=1-2x>0解得0<x<1/2 2. 将关于x y m 的不等式中的y 用x 表示，计算后得到m<=1/x(1-2x)所以要是不等式恒成立，就得使m 小于等于1/x(1-2x)的最小值

Answer 2

因为1/x+2/y=(1/x+2/y)*1=(1/x+2/y)(2x+y)=4+4x/y+y/x≥4+2√(4x/y*y/x)=4+4=8
当且仅当4x/y=y/x时取得，此时4x^2=y^2,而2x+y=1,求得x=1/4,y=1/2,所以等号可以取到
所以要m≤1/x+2/y恒成立，则m要小于等于1/x+2/y的最小值8
所以m≤8