Question

已知函数f(x)=x+lg(√(x2+1)+x),若不等式f(m×3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围

请详细一点 谢谢

Answer 1

答：
f(x)=x+lg[√(x^2+1)+x]
√(x^2+1)+x>0
√(x^2+1)>-x
x>=0恒成立
x<0，两边平方：x^2+x>x^2恒成立
所以：定义域为实数范围R
f(-x)=-x+lg[√(x^2+1)-x]
=-x+lg{1/√[(x^2+1)+x]}
=-x-lg[√(x^2+1)+x]
=-f(x)
所以：f(x)是奇函数
因为：x>0时氏蔽，f(x)内谈闷各项都是增函数
所以：f(x)是增函数
f(m*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0

f(m*3^x)<-f(3^x-9^x-2)=f(9^x+2-3^x)
所以：
m*3^x<9^x-3^x+2
(3^x)^2-(m+1)*3^x+2>0
则含核弯3^x在实数范围内无解
判别式=(m+1)^2-8<0
-1-2√2<m<-1+2√2

Answer 2

解答：
f(x)=-f(-x)自己验证
f(x)是奇函数
设t=3^x(t>0)
原式=f(mt)+f(t-t^2-2)=f(mt)-f(t^2-t+2)
设f(x)=h(x)+g(x)
h(x)=x递增，g(x)'=x/根号（x^2+1）+1>0 也是递增
f(x)单调递增
即mt<t^2-t+2对t>0恒袜敏成立
m<t+2/t-1>=2根蠢乎号告档枝2-1，当且仅当t=根号2等号成立
m<2根号2-1
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

追问

g(x)'=x/根号（x^2+1）+1>0 和m=2根号2-1，当且仅当t=根号2等号成立是怎么来的

谢谢回答

追答

t+2/t-1>=2根号2-1
只有当t=根号2的时候等号成立!
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

追问

m=2根号2-1 这个等式是怎么来的

追答

mt=2根号2-1

追问

两边同时除以t得m＜t+2/t-1 但如和得出要≥2根号2-1