Question

★三角函数数学问题：已知三角形ABC，∠B=60°，b=2.求：（1）面积的取值范围（2）周长的取值范围。

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Answer 1

（1）

2/sin60=2R,==>2R=4/√3=4√3/3,
画一个圆，取一段弦AC,B点在优弧上运动，当高线AD过圆心时，A到BC的距离最远，些时正是
一个等边三角形，所以最大面积就是边长为2的等边三角形
S(max)=√3
S(min)没有最小值；
S∈(0,√3]
(2)
2R=4/√3
a+c=(4√3/3)(sinA+sinC)
=(4√3/3)(sinA+sin(120º-A))
=(4√3/3)]sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA]
=(4√3/3)](3/2)sinA+(√3/2)cosA]
=(4√3/3)](√3)(√3/2)sinA+(1/2)cosA]
=4[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]
=4sin(A+30º)
0º<A<120º
30º<A+30º<150º
(1/2)<sin(A+30º)≤1
2<4sin(A+30º)≤4
即
2<a+c≤4
4<a+c+2≤6

Answer 2

（1）由余弦定理得ac=a^2+c^2-4，而a^2+c^2大于等于2ac，所以ac大于等于2ac-4,即0小于ac小于等于4
面积=0.5acsinB，所以范围是（0，根号3]
(2)周长=a+c+2，而由（1）可知ac=a^2+c^2-4，即(a+c)^2=3ac+4，ac属于（0,4】，则(a+c)^2属于（4,16]
所以周长属于（4,6】