Question

三角函数问题。很急！！

如图，谢谢啊

Answer 1

2sin(C/2)=sinAcotB+sinBcotA
2sin(C/2)sinAsinB=sin²AcosB+sin²BcosA
sin²AcosB+sin²BcosA=(cosA+cosB)(1-cosAcosB)
故sinAsinB=cosq(1-cosAcosB)
这里似乎遇到瓶颈，但是sinAsinB=1-cosAcosB得出A=B相当容易
于是，cos2q-cosq=cos(A-B)-cosq=sinAsinB+cosAcosB-cosq==cosAcosB(1-cosq)
cos2q-cosq=cosAcosB(1-cosq)
若cosq不等于1，(cos2q-cosq)/(1-cosq)=-(2cosq+1)==cosAcosB
-(2cosq+1)<-1,而cosAcosB>-1,则矛盾
故cosq=1,A=B
这道题不仅仅是难在于和差化积，更重要的是
看到sin²AcosB+sin²BcosA要会因式分解
看到sinAsinB=cosq(1-cosAcosB)，式子中同时出现sinAsinB,与cosAcosB要有一种想法，可以用cosc，与cos(A-B)来替换它

题外话：下面的证法不正确，
其中c/ cos（C/2）= acotB+ acotA与 你的条件是不同的。
不懂的话欢迎追问！！！

Answer 2

郭敦顒回答：
假设△ABC是等腰△，角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠A=∠B，a=b，c边上的高为h，则cotB=(c/2)/ h，acotB= a (c/2)/ h；cotA=(c/2)/ h，bcotA=b (c/2)/ h。
acotB+ acotA=( a+ b)(c/2)/ h= [c ( a+ b) /2]/ h
∵a=b，∴( a+ b) /2=a，
∴acotB+ acotA= ac/ h；
cos（C/2）= h/ a，（或cos（C/2）= h/ b）
∴c/ cos（C/2）= c/（h/ a）= ac/ h，
∴c/ cos（C/2）= ac/ h，
∴c/ cos（C/2）= acotB+ acotA。
∴若c/ cos（C/2）= acotB+ acotA成立，则原假设△ABC是等腰△成立，于是△ABC是等腰△得到证明。
这题用反证法可得到证明，证法略。

Answer 3

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