Question

已知函数fx=x^3-ax^2+3x,若fx在x∈【1,正无穷)上是增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

f'(x) = 3x² - 2ax + 3 = 0
在[1, +∞)上是增函数, 有两种可能:
(1) 3x² - 2ax + 3 恒≥ 0
∆ = 4(a² - 9) ≤ 0, -3 ≤ a ≤ 3

(2)
3x² - 2ax + 3 = 0的较大根x₂ = [a + √(4a² - 36)]/6 = [a + √(a² - 9)]/3 ≤ 1
√(a² - 9) ≤ 3 - a
显然a > 3时, 不等式不成立
a < 3: a² - 9 ≤ a² - 6a + 9
a ≤ 3
结合(1)(2): a ≤ 3

追问

3x² - 2ax + 3 = 0的较大根x₂ = [a + √(4a² - 36)]/6 = [a + √(a² - 9)]/3 ≤ 1 为什么？

追答

3x² - 2ax + 3是开口向上的抛物线，两根外侧的部分在x轴上方，大于0，即斜率为正，f(x)为增函数。f(x)在[1, +∞)上是增函数, x₂ ≤ 1时，f‘(x)在[1, +∞)上为正， f(x)是增函数。