Question

已知α，β是锐角，α+β≠π/2，且满足3sinβ=sin(2α+β）

（1）求证：tan(α+β）=5tanα
（2）求证：tanβ≤√2/4，并求等号成立时tanα与tanβ的值

Answer 1

tan(α+β）=5tanα??
这个好象打错了吧!
（1）证明：∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sin(α+β-α)=sin（α+β+α），
∴3[sin(α+β)cosα－cos (α+β) sinα]
= sin(α+β)cosα+ cos (α+β) sinα
∴2 sin(α+β)cosα
=4 cos (α+β) sinα
∴tan(α+β)=2tanα
解：
α与β是锐角,α+β不等于90°
tan(α+β)=2tanα
(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=2tanα
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
tanβ≤√2/4
tanα/(1+2tan^2α)≤√2/4
2√2*[tanα-(√2/2)]^2≥0
设tanα=√2/2,则sinα=1/√3,cos=√(2/3)
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)=(√2/2)/[1+2(√2/2)^2]=√2/4

3sinβ=sin(2α+β)
3sinβ=sin(2α)*cosβ+cos(2α)*sinβ
3tanβ=2sinα*cosα+(1-2sin^α)*tanβ
tanβ=sinα*cosα/(1+sin^2α)=(1/√3)*√(2/3)/[1+(1/√3)^2]=√2/4
故tanα=√2/2,tanβ=√2/4
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追问

那个老师改的= =可能改错了吧= =

追答

恩,我也是这么想的.
因为已经证明出来tan(α+β)=2tanα了!
tan(α+β）=5tanα怎么可能成立哪?
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