Question

过点(√2,0)引直线l与曲线y=√(1+x^2)相交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜

过点(√2,0)引直线l与曲线y=√(1+x^2)相交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于
A.√3/3 B.-√3/3 C.±√3/3 D.-√3

Answer 1

曲线y=√(1+x^2) ===> y^2=1+x^2 ===> y^2-x^2=1
表示的是双曲线y^2-x^2=1位于x轴以上的部分
设过点(√2,0)的直线为：y=k(x-√2)
联立直线与双曲线得到：k^2(x-√2)^2-x^2=1
===> (k^2-1)x^2-2√2k^2*x+(2k^2-1)=0
已知有两个交点，则△=(-2√2k^2)^2-4(k^2-1)(2k^2-1)＞0
===> 8k^4-4(2k^4-3k^2+1)＞0
===> 8k^4-8k^4+12k^2-4＞0
===> k^2＞1/3
===> k＞√3/3，或者k＜-√3/3

——所以，四个答案中只有D满足！！！

Answer 2

M(0,-1) ,A(x1,kx1)
MA斜率(kx1+1)/x1=k+1/x1=k-x2x1+x2=k
8k²-8k(x1+x2)=8k²-8k²=0

追问

这是啥，没看懂啊？

追答

设A，B两点的横坐标分别为X1，X2，
由题意知，=（k+1）^2-4k=(k-1)^2＞0，所以，k≠1。
由根与系数和关系得，X1+X2=k+1，x1*x2=k，
AB=|x1-x2|=根号{（x1+x2）^2-4x1*x2}=|k-1|。
M的纵坐标为：{4k-（k+1）^2}/4=-(k-1)^2/4。
（1）由抛物线的对称性知，三角形MAB是等腰三角形，MA=MB。当三角形ABM是直角三角形时，
则有角BAM=45°，tanBAM=1，即 (k-1)^2/4：|k-1|/2=1，
解得：k1=3，k2=-1。
（2）同（1），当角BAM=30°时，tanBAM=根号3/3，即有
(k-1)^2/4：|k-1|/2=根号3/3，
解得：k1=（3+4根号3）/3， k2=（3-4根号3）/3。

Answer 3

选c吧。。。

追问

为什么啊，大神求教育啊（☆_☆）

追答

一般方法应是设出直线，然后直线与曲线方程联立，利用韦达定理再结合条件列式化简，得出所求
而对于这个选择题有他的特殊性，由数形结合可知该直线斜率有一个，再结合选项，可立即得出C为正确选项，既省时又省力。。对于选择题千万不要小题大做！！！