Question

微积分题目，求详细解析。

已知函数f(x)定义域为[0,1],求f(x+c)+f(x-c)(c>0)的定义域。

Answer 1

f(x+c)+f(x-c)
因为f(x)定义域为[0,1]
所以对于f(x+c)，x+c∈[0,1]，x∈[-c,1-c]
对于f(x-c)，x-c∈[0,1]，x∈[c,1+c]
那么f(x+c)+f(x-c)的定义域形式上可表示为[-c,1-c]∩[c,1+c]
(1) c <1/2，定义域即为[c,1-c]
(2) c=1/2，定义域为{1/2}
(3) c>1/2，定义域为∅

追问

为什么取1/2为中间值?

追答

根据[-c,1-c]∩[c,1+c]中1-c和c的大小确定
当1-c1/2时，[-c,1-c]∩[c,1+c]=∅
当1-c>c，即c<1/2时，[-c,1-c]∩[c,1+c]=[c,1-c]
当1-c=c，即c=1/2时，[-c,1-c]∩[c,1+c]={1/2}