Question

微分的概念是什么啊？

你猜呀！

Answer 1

百度上找的：实话实说微分的概念�
一,微分概念的引入�
在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy �
假设f′(x)存在,则�
==f′(x0),有�
=f′(x0)+α,α=0,于是�
Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0 (1)�即 αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,�
Δy≈f′(x0)Δx�
在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则�
Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.�
从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.�
二,微分的概念�
定义 设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若�
Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为�
Δy=AΔx+o(Δx) (Δx→0)�
其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.�
三,可微与可导的关系�
从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有�
定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).�
证 充分性,由f(x)在点x处可导,有�
=f′(x),于是�
=f′(x)+α,其中α=0,有�
Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)�
所以�
Δy=f′(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)�
因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.�
必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知�
Δy=AΔx+0(Δx) (Δx→0),A与Δx无关.�
由=[A+]=A=f′(x)�
所以y=f(x)在点x处可导.�
于是,若y=f(x)在点x处可微,则�
dy=AΔx,由A=f′(x),有�
dy=f′(x)Δx�
由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此�
dy=f′(x)dx等价于=f′(x)�
由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商. �
下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义�
圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则�
图2-6
ΔS=π(r+Δr) 2-πr2=2πrΔr+π(Δr) 2
ds=2πrΔr=2πrdr�
当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7�
图2-7
(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高�
Δv=π(r+Δr) 2h-πr2h�
=2πrhΔhΔr+πh(Δr) 2�
dv=2πrhΔr=2πrhdr�
图2-8
当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9�
(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)�
ΔV=π(r+Δr)3-πr3�
=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]�
=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δr�
dv=4πr2Δr�
即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.�
四,微分的几何意义�
若y=f(x)在点x处可微,则�
Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)�
图2-9
及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率�tanα=f′(x)�
Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQ�
dy=f′(x)Δx=tanα Δx=NT�
图2-10
o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ�
由dy≈Δy,即�
NT≈NQ,则�
|PT|=≈=|PQ|≈||�
因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧�.�
§2.2 微分的基本性质�
一,微分基本公式�
由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).�
二,微分的四则运算�
定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则�
u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且�
1. d(u±v)=du±dv�
2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)�
3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)�
注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.�
证3� d()=()′dx=dx�
== (v≠0)�
三,一阶微分不变形�
定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数
y=f(φ(x))在点x处可微,且�
dy=f′(u)du�
证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且�
dy[WB]=f′(φ(x))φ′(x)dx�
=f′(φ(x))dφ′(x)�
=f′(u)du�
dy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性.�
例1. y=e�
解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)�
于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx�
解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性�
dy=de=ed�sin�(x2+)�
=ecos (x2+)d(x2+)�
=ecos (x2+)[d(x2)+d]�
=ecos (x2+)[2xdx+dx]�
=ecos(x2+)(2x+)dx�
从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)�
例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy�
解 对方程两端求微分�
d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln�(x-y)得�
2dy-dx=�ln�(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有�
dy=dx�
例3. 利用微分求,�
解:====y′�
从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在�
===dt
=
§2.3 近似计算与误差估计�
一,近似计算�
若y=f(x)在点x0处可微,即�
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx+o(Δx) (Δx→0)�
当|Δx|很小时,有�
Δy≈f′(x0)Δx (1)�
即f(x0+Δx))-f(x0)≈f′(x0)Δx,则�
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)�
(1)式为我们提供计算Δy近似值的公式�
(2)式为我们提供计算f(x0+Δx)近似值的公式�
特别x0=0有f(Δx)≈f(0)+f′(0)Δx�
设Δx=x,若|x|很小时,有�
f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时�
�sin≈xtsx≈x,�ln (1+x)≈x�
ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)�
与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.�
例4. 计算的近似值�
解 设f(x)= f′(x)=x�,f′(1)=�
由=f(1.002)=f(1+0.002)�
≈f(1)+f′(1)×0.002�
=1=×0.002=1.00002�
二,误差估计�
从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=Δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|Δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.�
若y=f(x),则�
|Δy|≈|dy|=|f′(x0)Δx|≤|f′(x0)|δxδy�
于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限�
=δx或δx称为y的相对误差限.�
例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少 �
解 球的体积v= ()3=由�
dv=dD,于是�
==3由≤1%有�
3≤1%,即≤%≈0.33%�
§2.4* 高阶微分�
若y=f(x)在区间X上可微(x为自变量),则�
dy=f′(x)dx�
这里dy不仅与x有关,与dx=Δx也有关,而Δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里Δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即�
d2y=f〃(x)dx2�
一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在�
则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)�(x))dxn-1
=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)�(x)dxn则�
=f(n)(x) (x为自变量)�
因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.�
我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.�
dy=f′(u)du�
二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则�
d2y=f〃(x)dx2�
若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在�
由 dy=f′(u)du,于是�
d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)�
=f〃(u)du du+f′(u)d2u�
=f〃(u)du2+f′(u)d2u�
由 du=dφ(x)=φ′(x)dx�
d2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0�
同样 f′(u)d2u�0�
因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量�
=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.�
但只能看成一个整体符号,不能看成商�
注:d(x2),dx2,d2x的区别�
d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2�
d2x=d(dx) 0

Answer 2

设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) �6�1 f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
　　通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
　　当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→０是高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。可导不一定可微，可微一定可导，这时A=f′(X)。再记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
　　几何意义：
　　设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

Answer 3

f的导函数乘以自变量x的微小变量就是f的微分,可以这样理解