Question

若实数a,b,c,d满足a^2-2Ina=b;3c+4=d,则a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd的最小值为

能解出来的一定是高手

Answer 1

a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd
=（a+c)^2+(b+d)^2
=[a-(-c)]^2+[b-(-d)]^2
即点(a,b)与点（-c,-d)的距离的平方。
a^2-2Ina=b，所以点(a,b)在y=x^2-2lnx上
3c+4=d
-d=-3c-4
点（-c,-d)在y=3x-4上
画出两图像，两点距离最近时点(a,b)的切线与y=3x-4平行，
即y'=2x-2/x=3
x=2 （x是正数）切点（2，4-2ln2）
切点与y=3x-4的距离的平方即最小值。
最小值=[│3*2-（4-2ln2)-4│ /√10]^2=2(1-ln2)^2/5