Question

洛必达解这道题，f(x)=ax+cosx,x属于[0,π],设f(x)<=1+sinx,求a的取值范围

已知f(x)=ax+cosx,x属于[0,π],设f(x)<=1+sinx,求a的取值范围，这道题可以用洛必达法则解答吗？如果可以，写出必要的过程，如果不可以，详细说明为什么，

Answer 1

解析：∵f(x)≤1+sinx
设h(x)=ax+cosx-sinx-1<=0 x∈[0,π]
h(x)=ax-√2sin(x-π/4)-1
令h’(x)=a-sinx-cosx=a-√2sin(x+π/4)=0
X1=√2/2a-π/4，x2=π-√2/2a-π/4
h’’(x)=-cosx-sinx=-√2sin(x+π/4)
当a>=√2π/4时
∴h(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
要满足f(x)≤1+sinx，只须满足h(x1)<=0
h(x1)=√2/2a^2-π/4a+√2cos(√2/2a)-1<=0
h(π)=aπ-√2sin(π-π/4)-1=aπ-2<=0==>a<=2/π
∵2/π<√2π/4，∴当a<=2/π时，x1<0
∴只要验证h(0)=-√2sin(-π/4)-1=0
当a<√2π/4时，x1<0(舍)，在x2处取极小值
∴h(0)=-√2sin(-π/4)-1=0

综上：要满足f(x)≤1+sinx，只须满足a<=2/π

追问

我知道这道题2012全国高考题，我需要的是 洛必达法则 在这道题中是否可以应用，

追答

可以的
思路我说下，
洛必达法则需要根据极限结果判定不等式结果
在x∈[0,π]取值区间内
对于正弦函数需要分区间对其极限取值判断
所以上述证明过程涉及到[0,π/2],[π/2,3π/4],[3π/4,π]三个区间段的判定
洛必达法则证明这题理解上会清晰，但证明过程我个人感觉未必简单
最后是我印象中洛必达法则好像不是高中知识吧

追问

我是这样想的
当x=0时，恒成立
当π>x>0时，原式化简可得a0时，分子分母都趋近0 ，所以应用洛必达分子和分母都求导，
变为a<=(cosx+sinx)/1 所以x=0时，a<=1
我知道这个结果是错误的，但是哪错了呢