高数 泰勒公式中的余项问题
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先说1, 2, Peano余项的问题.
其实定理叙述的比较清楚, f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项.
从这个角度说cos(x)的2阶Taylor展开就是cos(x) = 1-1/2·x²+o(x²).
那么为什么又有cos(x) = 1-1/2·x²+o(x³)呢?
原因很简单, 这是cos(x)的3阶Taylor展开, 而cos(x)在0的3阶导数为0, 所以x³项没出现.
所以不要记cos(x), sin(x)的余项加一次这种事情.
展到几阶就是几次, 根据需要选择.
而图2展到2阶就够用了, 没必要特意展到3阶.
关于1/(1+x²)道理是一样的, 5阶导为0, 所以展到5阶时没有x⁵项, 且余项为o(x⁵).
但是怎么看出5阶导为0呢?
可以用Taylor展开反推高阶导数的办法.
因为我们知道1/(1+x²)的Taylor展开为1-x²+x⁴-x⁶+...没有5次项.
3, 4的问题其实与余项无关.
之所以要单独讨论0 < x ≤ 1的情况, 是因为1)的方法不适用.
此时x-1 ≤ 0, 不在题目条件的范围内, 因此对f(x-1)的大小不能估计.
而2)的方法同样不适用于x > 1, 因为其依赖于|x-1| < 1.
其实定理叙述的比较清楚, f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项.
从这个角度说cos(x)的2阶Taylor展开就是cos(x) = 1-1/2·x²+o(x²).
那么为什么又有cos(x) = 1-1/2·x²+o(x³)呢?
原因很简单, 这是cos(x)的3阶Taylor展开, 而cos(x)在0的3阶导数为0, 所以x³项没出现.
所以不要记cos(x), sin(x)的余项加一次这种事情.
展到几阶就是几次, 根据需要选择.
而图2展到2阶就够用了, 没必要特意展到3阶.
关于1/(1+x²)道理是一样的, 5阶导为0, 所以展到5阶时没有x⁵项, 且余项为o(x⁵).
但是怎么看出5阶导为0呢?
可以用Taylor展开反推高阶导数的办法.
因为我们知道1/(1+x²)的Taylor展开为1-x²+x⁴-x⁶+...没有5次项.
3, 4的问题其实与余项无关.
之所以要单独讨论0 < x ≤ 1的情况, 是因为1)的方法不适用.
此时x-1 ≤ 0, 不在题目条件的范围内, 因此对f(x-1)的大小不能估计.
而2)的方法同样不适用于x > 1, 因为其依赖于|x-1| < 1.
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