Question

一条我看似简单但是复杂的初中数学题！

若抛物线y=ax2+bx+3与y=-x2+3x+2的两点关于原点对称，则a、b分别为____?

Answer 1

设两抛物线两个交点的坐标分别问A(x1,y1),B(x2,y2)
根据“抛物线两个交点关于原点对称”这个已知条件，可得出：
x1+x2=0 ①
y1+y2=0 ② （这是关于原点对称的点的性质）联立两个抛物线的方程，消去y，得到关于x的含有a，b的一元二次方程：
(a+1)x^ +(b-3)x +1=0
显然，此方程的两个根一定分别对应两个抛物线交点的横坐标，由韦达定理得：
x1+x2=(3-b)/(a+1) ③
x1*x2=1/(a+1) ④
将③代入①，可求出：
b=3,a≠-1将A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入其中一个抛物线的解析式y=-x^+3x+2,可得：
y1=-x1^+3x1+2
y2=-x2^+3x2+2
两式相加可得：
y1+y2=-(x1^+x2^)+3(x1+x2)+4
将①，②式分别代入此方程左右两侧，可得：
x1^+x2^=4
<=>(x1+x2)^-2x1*x2=4
<=>x1*x2=-2
将④式代入：
1/(a+1)=-2
<=>a=-3/2 综上，a=-3/2，b=3还可以用另一种方法解，楼主要是感兴趣可以看看：因为两抛物线交点关于原点对称，可设两交点为(m, n), (-m, -n)，分别将它们代入抛物线y=-x^+3x+2的解析式中：
n = -m�0�5+3m+2
-n = -(-m)�0�5+3(-m)+2
解出：m=√2，n=3√2
或m=-√2，n=-3√2
于是两交点坐标为(√2, 3√2), (-√2, -3√2)将它们分别代入另一抛物线y=ax�0�5+bx+3的解析式：
3√2 = 2a + b√2 +3
-3√2 = 2a - b√2 +3呼呼，辛苦死~