Question

已知函数f（x）=［（lnx+a）/x］-1（a属于R） （1）若a=1，求函数f（x）的极值 （2）若函数f（x）在区间

已知函数f（x）=［（lnx+a）/x］-1（a属于R）
（1）若a=1，求函数f（x）的极值
（2）若函数f（x）在区间（0,e]上有零点，求实数a的取值范围

Answer 1

解1：
f(x)=[(lnx+a)/x]-1
有x＞0
已知：a=1，代入上式，有：
f(x)=[(lnx+1)/x]-1
f(x)=ln(ex)/x-1
f'(x)=[x(1/x)-ln(ex)]/x²
f'(x)=[1-ln(ex)]/x²
1、令：f'(x)＞0，即：[1-ln(ex)]/x²＞0
1-ln(ex)＞0
ln(ex)＜1
ex＜e
x＜1
2、令：f'(x)＜0，即：[1-ln(ex)]/x²＜0
1-ln(ex)＜0
ln(ex)＞1
ex＞e
x＞1
综合以上，再考虑到f(x)的定义域x＞0，有：
当x∈(0，1)时，f(x)是单调增函数；
当x∈(1，∞)时，f(x)是单调减函数。
故：x=1时，f(x)取得极大值，f(1)=ln(e×1)/1-1=0

解2：
f(x)=[(lnx+a)/x]-1
f(x)=[lnx+ln(e^a)]/x-1
f(x)=ln(xe^a)/x-1
f(e)=ln[e^(a+1)]/e-1
f(e)=(a+1)/e-1
lim【x→0】f(x)=lim【x→0】[ln(xe^a)/x-1]
=[lim【x→0】ln(xe^a)/x]-1
=[lim【x→0】(1/x)]-1
=+∞
可见：要想f(x)在(0，e]上有零点，必有：f(e)＜0
即：(a+1)/e-1＜0
(a+1)/e＜1
a+1＜e
a＜e-1
即：所求取值范围为：a∈(-∞，e-1)。