Question

在等比数列{an}中，a1+an=66,a2.an-1=128,且前ｎ项和Sn=126,求项数n和公比q

Answer 1

a(n)=aq^(n-1),

66 = a + aq^(n-1),
128 = aq*aq^(n-2) = a*aq^(n-1),
由韦达定理，a和aq^(n-1)是二次方程 0 = x^2 - 66x + 128 = (x-64)(x-2)的2个实根。

若a = 2, aq^(n-1) = 64,则 q^(n-1) = 64/2 = 32, 因此q不为1。
126 = s(n) = a[1+q+...+q^(n-1)] = 2[q^n - 1]/(q-1), 63 = [q*q^(n-1) - 1]/(q-1) = (32q - 1)/(q-1),
63q - 63 = 32q - 1, 31q = 62, q=2. 32 = q^(n-1) = 2^(n-1) = 2^5, n=6.

若a=64, aq^(n-1) = 2,则q^(n-1) = 2/64 = 1/32, 因此q不为1。
126 = s(n) = a[q^n - 1]/(q-1) = 64[q*q^(n-1) - 1]/(q-1) = 64[q/32 - 1]/(q-1) = (2q-64)/(q-1),
126q-126 = 2q - 64, 124q = 62, q = 1/2, 1/32 = q^(n-1) = (1/2)^(n-1) = (1/2)^5, n = 6.

综合，有,项数n=6,公比q=2或q=1/2.

Answer 2

由条件得a1[1+q^(n-1)]=66，(1) (a1)²·q^(n-1)=128，(2) a1(1-q^n)/(1-q)=126，(3)
由(2)得 a1·q^(n-1)=128/a1，代入(1) 得
a1+128/a1=66，解得a1=2或64。
当a1=2时，由(1)或(2)得q^(n-1)=32，再由(3)得q=2，从而n=6。
同理，当a1=64时，由(1)或(2)得q^(n-1)=1/32，再由(3)得q=1/2，从而n=6。
综上，n=6，q=2或1/2。