x^7+x^5+1除以多项式x^3+1的商为x^4+x^2-x，余数为-x^2+x+1。
计算过程：（x^7+x^5+1）÷（x^3+1）=x^4+x^2-x……（-x^2+x+1）。
验算过程：
1、（x^3+1）×（x^4+x^2-x）=x^7+x^5+x^2-x。
2、（x^7+x^5+x^2-x）+（-x^2+x+1）=x^7+x^5+1，也就是原来的被除数，所以x^7+x^5+1除以多项式x^3+1的商为x^4+x^2-x，余数为-x^2+x+1。
扩展资料：
上面的计算过程属于多项式的带余除法，多项式的带余除法规则如下：
若 f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)称为余式。
当g(x)=x-α时，则r(x)=ƒ(α)称为余元，式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，称为余元定理。
g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也称g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特别地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要条件是ƒ(α)=0，这时称α是ƒ(x)的一个根。
如果d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式，那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式。
如果d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式，并且ƒ(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。
如果ƒ(x)=0，那么g(x)就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。当ƒ(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。
