Question

已知纪日的天干地支，如何推算出日数？

Answer 1

从已知年份计算干支纪年很简单：年份数减3，除以10的余数是天干，除以12的余数是地
支。

从已知日期计算干支纪日的公式和蔡勒公式很相像，如下：

g = 4C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d - 3
z = 8C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d + 7 + i (奇数月i=0，偶数月i=6)

其中C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月按上一年的13月和
14月来算。g除以10的余数是天干，z除以10的余数是地支。

巧妙运用和干支有关的几个计算公式，还可以在没有万年历的情况下推算出古书里的干
支纪日对应的公历日期。
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　　干支纪日，从夏朝就开始使用了。根据对中国古代历史典籍《春秋》中记载的日食的
研究，我国的干支纪日，从鲁隐公三年二月己巳日（公元前720年2月10日）开始，一直到
今天，都未曾间断。干支纪年的出现则略晚一些，直到东汉元和二年（公元85年）政府才
下令在全国实行，至今也未曾间断。因此，凡是需要接触中国历史的人，总不免要遇到查
某一年的干支或某一日的干支，以及由年干支和日干支推算是哪一年或哪一日的问题。通
常，这类转换靠查历书都可以解决。但既然干支也是一个循环系统，自然也就有从年份和
日期求干支的公式。

　　在介绍求年干支和日干支的公式前，先把干支的特点介绍一下。干支是天干和地支的
组合。天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二个，即
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干和地支从“甲子”开始，按顺
序逐一相配，各用到最后一个时，再从第一个开始继续相配，就形成了六十个干支，也称
“六十花甲子”。为什么是六十个干支呢？这个从数学上很容易回答。根据干支的构成条
件，其循环周期必然是天干数和地干数的最小公倍数。而60正是10和12的最小公倍数。

　　如果我们把“甲子”编为1号，“乙丑”编为2号，这样编下去，就可以得到一个干支
和序号的对照表，如下：

1.甲子 2.乙丑 3.丙寅 4.丁卯 5.戊辰 6.己巳 7.庚午 8.辛未
9.壬申 10.癸酉 11.甲戌 12.乙亥 13.丙子 14.丁丑 15.戊寅 16.己卯
17.庚辰 18.辛巳 19.壬午 20.癸未 21.甲申 22.乙酉 23.丙戌 24.丁亥
25.戊子 26.己丑 27.庚寅 28.辛卯 29.壬辰 30.癸巳 31.甲午 32.乙未
33.丙申 34.丁酉 35.戊戌 36.己亥 37.庚子 38.辛丑 39.壬寅 40.癸卯
41.甲辰 42.乙巳 43.丙午 44.丁未 45.戊申 46.己酉 47.庚戌 48.辛亥
49.壬子 50.癸丑 51.甲寅 52.乙卯 53.丙辰 54.丁巳 55.戊午 56.己未
57.庚申 58.辛酉 59.壬戌 60.癸亥

　　细心观察这张表，不难发现，由序号得到对应干支是很容易的，序号除以10的余数就
是天干的序数（如果余数是0，则为最后一个天干癸），序号除以12的余数就是地支的序
数（如果余数是0，则为最后一个地支亥）。比如37号干支，因为37 mod 10=7（mod表示
取余数），对应的天干是庚，37 mod 12=1，对应的地支是子，所以37号干支就是庚子。
显然，一个整数除以10的余数就是它的个位数，这就使求天干更方便了。

　　而由干支推它的序号，也不困难。这其实就是一个同余方程组的求解问题，我们用初
等数论中的中国剩余定理就可以解决。比如要算戊午的序号是多少，根据上面由序号得到
对应干支的原理，很容易得到如下方程组：

{ x mod 10 = 5
{ x mod 12 = 7．

其中x是待求的干支序号。根据中国剩余定理，有：

x ≡ 6 * 5 - 5 * 7 (mod 60) = 55，

即戊午的序号是55．这和上面的对照表的是一致的。一般地，若天干的序号为m，地支的
序号为n，则干支的序号为：

x ≡ 6m - 5n (mod 60) (1)

简单点说，如果6m-5n的结果是正数，这个数就是干支的序号；如果是负数，把它加上60
就是干支的序号。

　　了解了干支及其序号的相互推算，下面我们先来介绍年干支的求算。需要说明的是，
干支纪年纪的是农历年，而不是公历年。但因为农历年的岁首和公历年的岁首相隔较近，
使农历年总是和某一公历年的大部分重合，因此，通常也用公历年的年份表示和它大部分
重合的农历年。这样我们就很容易给出农历年的干支序号为：

x = (Y-3) mod 60， (2)

其中Y是年份。得到了干支序号x，就可以求出相应的干支来。比如2004年的干支序号：

x = (2004-3) mod 60 = 2001 mod 60 = 21，

21 mod 10=1，天干为甲，21 mod 12=9，地支为申，因此，2004年是甲申年。

　　细心观察，我们可以发现，其实用Y-3直接除以10，就可以得到天干，用Y-3直接除以
12，就可以得到地支。这是因为

x = (Y-3) mod 60

等价于

Y-3 = 60 * n + x，

其中n是Y-3除以60的商数。等式两边同时除以10，余数也必然相等。而右边第一项是60的
倍数，自然也是10的倍数，能够被10整数，于是Y-3除以10的余数就必然等于x除以10的余
数。

因此，其实我们完全用不着先求干支的序号，而可以分别求天干和地支，合起来就是干
支，这样就减少了一步运算。而对于年份的天干，同样只须看末尾一位。末尾为4的年份
的天干总是甲，末尾为5的年份的天干总是乙……依次类推。

　　再来看日干支的求算。我们可以仿照星期的求算，得到一个比较直观的计算日干支的
公式如下：

G = (Y-1)*5 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D + 15， (3)

其中Y是年份，D是累积天数，[...]表示取商数，也就是只取计算结果的整数部分。把G除
以60，余数就是干支的序号。或者把G除以10或12，可以直接得到日天干和日地支。不
过，和形式相似的求星期的公式一样，这个公式还不够简炼，特别是第一项(Y-1)*5，在
Y为四位数年份时，计算出来的结果是一个较大的四位数或五位数，口算很不方便。

　　我们用推导蔡勒公式的办法，可以改进这个公式。先来看和年份有关的部分的改进。
我们知道，按公历的置闰规则，一个世纪的总天数可能是36524天，或36525天。如果这个
世纪中末尾为00的年份是闰年，这个世纪就只有36525天；否则就只有36524天。我们不妨
称有36524天的世纪为“平世纪”，有36525天的世纪为“闰世纪”。对于平世纪，因为

36524 mod 60 = 44，

所以，每过一个平世纪，同一天的干支就向后推进44个序号。同样，每过一个闰世纪，同
一天的干支就向后推进45个序号。这就使我们很容易得到一个计算每个世纪第一年（年份
末尾为01）3月1日的公式：

G = 44C + [C/4] + 15， (4)

其中C是世纪数减一。

而计算任一年3月1日的干支的公式也可以很快得到：

G = 44C + [C/4] + 5(y-1) + [y/4] + 15，

即

G = 44C + [C/4] + 5y + [y/4] + 10， (5)

其中y是年份后两位数字。

　　下面我们再列出每月天数：

月　　份　1月　2月 　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月
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天　　数　31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
减30后的
剩余天数 1 -2(-1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

如果把1月和2月看成是上一年的13月和14月，同样可以得到下面的式子：

D' ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 (mod 10) (6)

及

D' ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 + i (mod 12) (奇数月i=0，偶数月i=6)， (7)

其中，D'是从3月1日开始算起的累积天数，M是月份，d是日数。把(6)(7)两式和(5)式合
起来，再进行适当的化简，就得到了计算公历任意一天的天干和地支的公式：

g = 4C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d - 3； (8)
z = 8C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d + 7 + i (奇数月i=0，偶数月i=6)
(9)

如果先求得了g，那么

z = g + 4C + 10 + i (奇数月i=0，偶数月i=6)． (10)

g的个位数就是天干序号，z除以12的余数就是地支序号。这里需要再次强调：1月和2月是
当做上一年的13月和14月来算的，因此C和y也要按上一年的年份来取值。

　　我们可以把(8)(9)两式和蔡勒公式对比一下：

W = -2C + [C/4] + y + [y/4] + [13*(M+1) / 5] + d - 1，

可以看出它们的形式非常相似，区别仅仅是几个常数的不同。

　　尽管现在中国已经不用干支纪日了，但有时还是需要计算日干支的。比如，历法有所
谓“三伏”和“入梅”“出梅”，都和日干支有关。三伏包括初伏、中伏和末伏，是指夏
天最热的一段时间，入梅和出梅是指江南一带梅雨季节的开始和结束，本来是和气候有关
的用语。但因为古代没有准确的天气预报，无法准确预测三伏和入出梅的时间，所以就在
历书上硬性规定几个日子作为三伏开始和入出梅的日子，这样确定一个大致的日期以备参
考。现在虽然有了比较准确的天气预报，但三伏和入出梅作为一种传统历法，仍然流传下
来。

　　历法规定夏至之后的第三个庚日为初伏开始，共十天；第四个庚日为中伏开始，十天
或二十天；立秋之后的第一个庚日为末伏开始，共十天。中伏的长度之所以不固定，是因
为夏至、立秋的日期和庚日的日期是逐年浮动的，立秋之后的第一个庚日可能是夏至之后
的第五个庚日，也可能是第六个庚日。如果是前者，中伏就只有十天；如果是后者，中伏
就长达二十天。注意如果夏至当天是庚日，夏至之后第一个庚日是指夏至之后第十天，而
不是夏至当天，这时初伏第一天就是夏至之后第三十天。同样，如果立秋当天是庚日，末
伏第一天就是立秋之后第十天，而不是立秋当天。入梅则是指芒种之后的第一个丙日，出
梅是指小暑之后的第一个未日，也有同样的规定。

　　知道了这些，我们可以算一下2004年的初伏、中伏和末伏都是什么日子。这需要先知
道夏至和立秋的日子。如果知道夏至是6月21日，立秋是8月7日，那么运用公式(8)，夏至
这天的g为：

g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(6+1) / 5] + 21 - 3
= 80 + 5 + 20 + 1 + 4 + 21 - 3
= 128，

个位数是8，天干是辛。夏至之后第三个庚日就是夏至之后第29天，也就是7月20日，这天
也就是初伏第一天。中伏第一天则是7月30日。同样可算出立秋这天的g为：

g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(8+1) / 5] + 7 - 3
= 80 + 5 + 20 + 1 + 5 + 7 - 3
= 115，

是个戊日。立秋之后第一个庚日就是立秋之后第2天，也即8月9日，这天就是末伏第一
天。由此也可知，2004年的中伏只有十天。同样可以由芒种和小暑两节气的日期，算出
2004年的入梅日和出梅日分别是6月6日和7月15日。

　　反过来，知道了年干支和日干支，求相应的年份和日期就相对麻烦一点了。因为干
支是循环使用的，所以必须先知道欲求对应年份和日期的干支是属于哪一次循环。比如
我们预先用公式(2)算出来1864、1924、1984年都是甲子年，如果要知道戊戌变法是哪
一年，首先要确定它是十九世纪末的事情，也即是属于1864年开始的这一个循环里。那
么，我们用公式(1)可以算出来戊戌的序号是35，于是戊戌年就是(1864-1)+35=1898年。
之所以要先减一，是因为甲子的序号为1，需要把这个序号先减去。

　　至于日干支，因为古书里的日干支总是和年、月配合使用的，所以不难确定它属于
哪个循环。比如《明史·庄烈帝本纪》记载明崇祯皇帝朱由检在煤山自缢的日子是崇祯
十六年三月丁未。崇祯十六年就是公元1644年。三月虽然是农历的三月，但我们知道农
历的日期在公历里虽然是浮动的，但也不出一定的范围，比如农历三月初一，总是在
公历3月22日到4月19日之间浮动。因此，先来算1644年3月22日的干支。我们有：

g = 4 * 16 + [16/4] + 5 * 44 + [44/4] + [3*(3+1) / 5] + 22 - 3
= 64 + 4 + 220 + 11 + 2 + 22 - 3
= 320，

个位数是0，

z = g + 4C + 10
= 320 + 64 + 10
= 394，

除以12余10，所以这一天的干支是癸酉，其序号为6*0-5*10+60=10。而丁未的序号是
6*4-5*8+60=44，在癸未之后34天，因此三月丁未肯定是3月22日之后34天，即4月25
日。这就是说，崇祯自缢的日子是1644年4月25日，这和查万年历的结果是一致的。