Question

高等数学基础问题

问个问题：
设映射f:X到Y，集合A属于X，集合B属于X，证明：
f(A∪B)=f(A)∪f(B)

Answer 1

像这种证明集合相等的题一般是考虑一个元素a,如果它属于等式左边的话那么它也属于右边，如果它属于右边的话那么它也属于左边，故两个集合相等。回归到这个题目的话，证明如下：

设a是f(A∪B)的一个元素，则a的原象a'属于A∪B，故a一定属于f(A)或f(B)。
设b是f(A)∪f(B)的一个元素，则b的原象b’属于A或B，即A∪B，故b属于f(A∪B)。

注: f(a')=a,则称a'为a的原象，a为a'的象。

Answer 2

任给x\in A∪B, 则要么x\in A, 要么x\in B, 从而f(x)\in f(A)∪f(B), 这就说明了左边包含在右边。按同样的方式可以证明右边包含在左边。