Question

已知a，b为正整数，且满足（a+b）/（a*a+a*b+b*b）=4/49，求a+b的值

求过程详细一点。。。。

Answer 1

∵a、b都是正整数，∴a＋b≧2√（ab），∴（a＋b）^2≧4ab。······①
∵（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＝4/49，
∴49（a＋b）＝4（a^2＋ab＋b^2）＝4［（a＋b）^2－ab］＝4（a＋b）^2－4ab。······②
①＋②，得：（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4（a＋b）^2，∴3（a＋b）≦49，
∴a＋b≦16。

显然有：4/49＝（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＞（a＋b）/（a^2＋2ab＋b^2）＝1/（a＋b），
∴a＋b＞49/4，∴a＋b≧13，∴13≦a＋b≦16，又由②可知（a＋b）为偶数，
∴a＋b＝14，或a＋b＝16。

将a＋b＝14代入到②中，得：49×14＝4×14^2－4ab，∴49×7＝2（2×14^2－ab）＝偶数，
这自然是不合理的，∴这种情况应舍去。

将a＋b＝16代入到②中，得：49×16＝4×16^2－4ab，
∴4ab＝32^2－28^2＝（32＋28）×（32－28）＝60×4，∴ab＝60。

由a＋b＝16、ab＝60，结合韦达定理可知，a、b的值是方程x^2－16x＋60＝0的根。
由x^2－16x＋60＝0，得：（x－10）（x－6）＝0，∴x＝10，或x＝6。
∴a、b的取值是：一者为10，另一者为6。
将a＝10、b＝6代入原式中显然成立，∴a＋b＝16。

追问

【∴（a＋b）^2≧4ab。······①∵（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＝4/49，∴49（a＋b）＝4（a^2＋ab＋b^2）＝4（a＋b）^2－4ab。······②①＋②，得：（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4（a＋b）^2，∴3（a＋b）≦49，
∴a＋b≦16。】中【①＋②，得：（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4（a＋b）^2，（神马意思？）∴3（a＋b）≦49，】可否解释？

追答

不等式与等式的左右分别相加，和不等，其中不等式中较大的一边，和也较大。

追问

（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4（a＋b）^2中，可否列过程？
4/49＝（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＞（a＋b）/（a^2＋2ab＋b^2）＝1/（a＋b）求解释

追答

第一个问题：
（a＋b）^2≧4ab。······①
49（a＋b）＝4（a＋b）^2－4ab。······②
①＋②，得：（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4ab＋［4（a＋b）^2－4ab］，
∴（a＋b）^2＋49（a＋b）≧4（a＋b）^2。

第二个问题：
两个正分数，当分子相同时，分母大的反而小，
∴（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＞（a＋b）/（a^2＋2ab＋b^2），
∴（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＞（a＋b）/（a＋b）^2，
∴（a＋b）/（a^2＋ab＋b^2）＞1/（a＋b）。

Answer 2

楼上写的真是精彩，计算机给分析下图形分析。

追问

求详解啊啊啊

追答

楼上的已经给出了 解法啊。