Question

已知函数F(2^x)的定义域为【-1.1】，求F（㏒2^x）的定义域？

Answer 1

函数y=f(x)的定义域是[—2,2],指的是自变量x∈[-2,2]时,f(x)才有意义
换句话形象点说,要把x拿到“机器”f下去“加工”,那么x必须满足条件:x∈[-2,2]
我们把u拿到f下去“加工”,得到“产品”f(u),那么u也要满足条件:u∈[-2,2]
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求函数g(x)=f(√x)的定义域,就是找使得f(√x)有意义的自变量x的集合,注意了,函数的自变量是x,而不是√x
想一想,怎样的x,才能拿到f(√x)这样的“机器”上去“加工”才行呢?
我们分两步:
1、自变量x,拿到“求算术根”下去加工,得到“半成品”u=√x
此时,x要满足条件:x>=0,即x∈[0,+∞)
2、把第一步得到的“半成品”u=√x,拿到f下去“加工”,得到“产品”f(u)=f(√x)
此时,u=√x 应该满足条件:u=√x∈[-2,2]
解不等式:-2<=√x=<2,得到0<=x=<4,即x∈[0,4]
所以,函数g(x)=f(√x)的定义域,即自变量x的取值范围是[0,4]。
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一般地,y=f(x)的定义域是A,u=u(x)的定义域是B,那么函数y=f[u(x)]的定义域是:
{x│u(x)∈A且x∈B}
罗嗦一下理由:
要y=f[u(x)] 有意义,那么:u=u(x)有意义,并且f(u)有意义
即:x∈B且u(x)∈A
所以,使y=f[u(x)]有意义的x的集合是:{x│u(x)∈A且x∈B}
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这就是常说的“复合函数”的概念,函数y=f[u(x)]的自变量是x,中间变量是u=u(x),因变量y与x之间的关系,通过中间变量u=u(x),联系起来。

Answer 2

∵F(2^x)的定义域为[-1,1]
则1/2≤2^x≤2
∴F(x)的定义域为[1/2,2]
∴F（㏒2^x）的定义域满足：
1/2≤㏒2^x≤2
∴根号2≤x≤4
∴F（㏒2^x）的定义域为[根号2,4]