Question

一道解几证明题。请详细过程

有一开口向下（不封底）的圆锥，顶角为锐角，内接一小球。现以垂直于锥体其中一条母线且与小球底部相切的平面截圆锥。试证明球心在该平面的投影是椭圆截面的一个焦点。

Answer 1

首先这不是一题解几题……

如图（图是网上随便找的，用于示意）

用任意一个平面去截圆锥，如图所示，我们可以找到一个内接球和外切球，假设切点是F,E，两个球与圆锥的交线是两个圆。在图中，B，C，A在圆锥的同一条母线上，而且AB,AF都与上面那个小球相切，AE,AC都与下面那个大球相切。（与圆类比，切线长相等）所以

AB=AF, AE=AC

于是AF+AE = AB+AC = BC，但是B,C在是两个圆锥上两个圆与母线的交点。当A变化时，母线变化，但BC的长度不变。

于是AF+AE是定值，由椭圆的几何意义说明E,F是椭圆的焦点。

当平面与某条母线垂直时，题目中的小球在平面上的投影就是小球与平面的切点，也就是图中的点F，上面已经证明了F就是一个焦点。

追问

Holly potatos!!! Are you hired by Baidu-Zhidao and supported by a big big team?
Anyhow,thank you very much!

追答

Absolutely not. Just solve math problems for fun.
And what you asked is just the original geometric definition for conic sections.