Question

数学知识

数学中的推理和证明有什么区别，如果没区别的话，那证明方法和推理方法为什么不一样，解释的越详细越好

Answer 1

常用逻辑推理形式有归纳推理、演绎推理和类比推理。归纳推理是从许多个别事物的分析、研究之中，归纳出一个共同性的一般结论。它的特点是从具体到抽象，从个别到一般，合乎人们的认识规律。演绎推理是从已知的一般道理来推出个别事物的结论。它的特点是从一般到个别，从抽象到具体。归纳和演绎推理是写作议论文时最基本的推理形式，运用极为普遍。类比推理是从已知事物的某种属性，推出类似的另一事物也具有同样的属性的方法。它的特点是从个别到个别。

在数学上，证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。这样推导出来的命题也叫做该系统中的定理。
数学证明建立在逻辑之上，但通常会包含自然语言，因此可能会产生一些模棱两可的部分。实际上，若证明的大部分内容用文字形式的数学写成，可以视为非形式逻辑的应用。在证明论的范畴内，只考虑用纯形式化的语言写出的证明。这个区别导致了对过往到现在的数学实践、数学上的拟经验论和民间数学（或称大众数学）的大部分检验。数学哲学就关注语言和逻辑在数学证明中的角色，和作为语言的数学。

1、推理：
　　(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。
　　①归纳推理:
　　ⅰ定义：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
　　ⅱ特点：
　　*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;
　　*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性;
　　*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上;
　　*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。
　　ⅲ步骤：
　　*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;
　　*提出带有规律性的结论，即猜想;
　　*检验猜想。
　　②类比推理：
　　ⅰ定义：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
　　ⅱ特点：
　　*类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;
　　*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;
　　*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。
　　ⅲ步骤：
　　*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
　　*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;
　　*检验猜想。
　　(2)演绎推理：
　　①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
　　②演绎推理是由一般到特殊的推理;
　　③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
　　大前提——已知的一般结论;
　　小前提——所研究的特殊情况;
　　结 论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
　　④“三段论”推理的依据，用集合的观点来理解：
　　若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
　　(3)合情推理与演绎推理的区别与联系：
　　①归纳是由特殊到一般的推理;
　　②类比是由特殊到特殊的推理;
　　③演绎推理是由一般到特殊的推理.
　　④从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明;演绎推理得到的结论一定正确。
　　⑤演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程;而数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理.
　　2、证明：
　　(1)直接证明：
　　①综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法，其特点是：“由因导果”。
　　②分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法，其特点是：“执果索因”。
　　③数学归纳法：
　　ⅰ数学归纳法公理：
　　如果①当n取第一个值
　　(例如
　　等)时结论正确;
　　②假设当
　　时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确;
　　那么，命题对于从
　　开始的所有正整数n都成立。
　　ⅱ说明：
　　*数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
　　*数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。
　　(2)间接证明(反证法、归谬法)：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
　　用反证法证明一个命题常采用以下步骤：
　　①假定命题的结论不成立;
　　②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;
　　③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;
　　④肯定原来命题的结论是正确的。
　　即“反设——归谬——结论”

Answer 2

演绎推理(英语：deductive reasoning）是“结论，可从叫做前提的已知事实，“必然的”得出的推理”。如果前提为真，则结论必然为真。这区别于溯因推理和归纳推理，它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。
演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论。又称从规律到现象的推理。是从普通回到特殊再回到个别。 演绎推理正确的条件：若大小前提正确，则结论正确；若大前提或小前提错误，则结论错误。
而直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
例如：演绎推理：所有金属都能导电（大前提）
铜是金属（小前提）
铜能导电（结论）
直接证明：用导电实验验证铜能导电

Answer 3

简单点说，推理是在不知答案的情况下计算，而证明是在知道答案的情况下计算；推理因为没有正确的答案而容易导致错误而却不知道，而证明真好可以在推理出答案后进行检验，查看结果的正误。那么，一个是根据条件算答案，一个是根据答案算条件，自然是不一样的。