Question

高一数学题，求解

已知直线L1：mx-y=0,L2:x+my-m-2=0.
(1) 求证：对任意实数m∈R，L1与L2的交点P在一个定圆上；
(2) 若L2与定圆的顶一个交点为P1,L2与定圆的另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2面积的最大值及对应的m。

已知在△ABC，点A\B的坐标分别为（-2，0）和（2,0），点C在x轴上方。
（1） 若∠ACB=45°，求△ABC外接圆的方程；
（2） 若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（1）中圆引一条切线，切点为Q，问是否存在一个定点M，恒有PM的绝对值=PQ的绝对值？请说明理由

Answer 1

l1：mx－y＝0，过定点(0，0)，斜率kl1＝m
l2：x＋my－m－2＝0，斜率kl2＝－1/m
=>m(y－1)＋x－2＝0
令y－1＝0，x－2＝0
得y＝1，x＝2
∴l2过定点(2，1)
∵kl1•kl2＝－1
∴直线l1与直线l2互相垂直
∴直线l1与直线l2的交点必在以(0，0)，(2，1)为一条直径端点的圆上
且圆心(1，1/2)，半径r＝1/2√(2²＋1²)＝√5/2
∴圆的方程为(x－1)²＋(y－1/2)²＝5/4
即x²＋y²－2x－y＝0
(2)
由(1)得：
P1(0，0)，P2(2，1)
当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r
当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大
故S△PP1P2max＝1/2•2r•r＝5/4
又l1与l2的交点为P( (m＋2)/(m²＋1)，[m(m＋2)]/(m²＋1) )
且OP与P1P2的夹角是45°
∴|OP|＝√2 r＝√10/2
即[(m＋2)/(m²＋1)]²＋[ [m(m＋2)]/(m²＋1) ]²＝5/2
解得：m＝3或m＝－1/3
故当m＝3或m＝－1/3时，△PP1P2的面积取得最大值5/4
（1）先用正弦定理可知AC/SinC=2R，进而求得R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的s，则外接圆的方程可得．
（2）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标，进而根据PM=PQ，求得关于x的方程，进而列出方程组，消去m，得到关于n的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．

解：（1）∵ AC/SinC=2R，所以2R=4√2 ，即R=2√2
又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s）（s＞0），
则由4+S²=8，所以△ABC的外接圆的方程为x²+（y-2）²=8
（2）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+1），
∵恒有PM=PQ，所以（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，对x∈R，恒成立，
从而 2m+2n-40
m²+n²-2nt+4t+4=0，

消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0
∵方程判别式△=t²-4t-12，
∴①当-2＜t＜6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M
②当t≥6或t≤-2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在

Answer 2

△PP1P2的面积最大故S△PP1P2max＝1/2 2r r＝5/4 又l1与l2的交点为而这两点都在圆x ＋y －y=0上，则三角形PP1P2是直角三角形。